XREFF.RU


Отображение множеств. Общее понятие функции



Если Вам понравился сайт нажмите на кнопку выше
Отображение множеств. Общее понятие функции

Отображение множеств. Общее понятие функции

Отображение множеств. Общее понятие функции


Ванализепонятиефункциивводитсяследующимобразом.ПустьX– некотороемножествоначисловойпрямой.Говорят,чтонаэтоммножествеопределенафункцияf,есликаждомучислуxXпоставленовсоответствиеопределенноечислоy=f(x).ПриэтомXназываетсяобластьюопределенияданнойфункции,аY– совокупностьвсехзначений,принимаемыхэтойфункцией,-ееобластьюзначений.Еслижевместочисловыхрассматриватьмножествакакойугодноприроды,томыпридемксамомуобщемупонятиюфункции.ПустьMиN– двапроизвольныхмножества.

Говорят,чтонаМопределенафункцияf,принимающаязначенияизN,есликаждомуэлементуxMпоставленвсоответствиеодинитолькоодинэлементyизN.Длямножествпроизвольнойприроды(как,впрочем,ивслучаечисловыхмножеств)вместотермина«функция»частопользуютсятермином«отображение»,говоряоботображенииодногомножествавдругое.ПриспециализацииприродымножествMиNвозникаютспециальныетипыфункций,которыеносятособыеназвания«вектор-функция»,«мера»,«функционал»,«оператор»итакдалее.Мыстолкнемсяснимивдальнейшем.

Дляобозначенияфункции(отображения)изМвNчастопользуютсязаписью

f:MN.

Еслиа– элементизM,тоотвечающийемуэлементb=f(a)изNназываетсяегообразом(приотображенииf).СовокупностьвсехтехэлементоваизM,образомкоторыхявляетсяданныйэлементb∈N,называетсяпрообразом(или,точнееполнымпрообразомэлементаbиобозначаетсяf-–1(b).

ПустьА– некотороемножествоизМ;совокупностьf(a)всехэлементоввидаf(a),где a∈A, называется образом А иобозначается f(A).В своюочередь для каждогомножества В из N определяетсяего (полный) прообраз f–1(B), аименно: f-–1(B) естьсовокупностьвсехтехэлементовизМ,образыкоторыхпринадлежатВ.Можетоказаться,чтониодинэлементbизВнеимеетнепустогопрообраза,тогдаипрообразf-–1(B)будетпустыммножеством.

Здесь мы ограничимся рассмотрением самых общих свойств отображений.

Введемследующуютерминологию.Мыбудемговорить,чтоfестьотображениемножестваМ«на»множествоN,еслиf(M)=N;такоеотображениеназываюттакжесюръекцией.Будемписатьf:MN.(Вобщемслучае,тоесть,когдаf(M)N,говорят,чтоfестьотображениеМ«в»N.)

Еслидлялюбыхдвухразличныхэлементовx1иx2изМихобразыy1=f(x1)иy2=f(x2)такжеразличны,тоfназываетсяинъекцией(будемписатьf:MN).Отображениеf:M→N,котороеодновременноявляетсясюръекциейиинъекциейназываетсябиекциейиливзаимнооднозначнымсоответствиеммеждуMиN,будемписатьf:M↔N.

Пример.Рассмотримтрифункцииfi:R→R,i=1,2,3:

1)функцияf1(x)=exинъективна,нонесюръективна;

2)функцияf2(x)=x⋅sinxсюръективна,нонеинъективна;

3)функцияf3(x)=2x-1биективна.

Установим основные свойства отображений.

Теорема 1. Прообраз суммы двух множеств равен сумме их прообразов:

f–1(A∪B)=f–1(A)∪f–1(B).

Теорема 2. Прообраз пересечения двух множеств равен пересечению их прообразов:

f–1(A∩ B)=f–1(A)∩ f–1(B).

Теорема3.Образсуммыдвухмножествравенсуммеихобразов:

f(A∪B)=f(A)∪f(B).

Заметим,чтообразпересечениядвухмножеств,вообщеговоря,несовпадаетспересечениемихобразов.Например,пустьрассматриваемоеотображениепредставляетсобойпроектированиеплоскостинаосьx.Тогдаотрезки0≤x≤1,y=0;0≤x≤1;y=1непересекаются,автожевремяихобразысовпадают.

  • Карта сайта