Ступенчатому воздействию соответствует функция

0 при t< 0;

x(t) = а0 при t> 0.

При анализе и расчете систем удобно использовать ступенчатое воздействие, у которого величина а0 = 1. Его называют единичным ступенчатым воздействием и обозначают 1(t). Математическое выражение, описывающее единичное ступенчатое воздействие, имеет вид

0 при t< 0;

1(t) = 1 при t> 0.

Любое неединичное ступенчатое воздействие можно обозначить а01(t). Единичное ступенчатое воздействие, возникающее в момент времени t – t1, обозначают 1(t – t1).

Функция Хевисайда (единичная ступенчатая функция, функция единичного скачка, включенная единица) — кусочно-постоянная функция, равная нулю для отрицательных значений аргумента и единице — для положительных. В нуле эта функция, вообще говоря, не определена, однако её обычно доопределяют в этой точке некоторым числом, чтобы область определения функции содержала все точки действительной оси. Чаще всего неважно, какое значение функция принимает в нуле, поэтому могут использоваться различные определения функции Хевисайда, удобные по тем или иным соображениям, например[1]

Другое распространённое определение:

Функция Хевисайда широко используется в математическом аппарате теории управления и теории обработки сигналов для представления сигналов, переходящих в определённый момент времени из одного состояния в другое. В математической статистике эта функция применяется, например, для записи эмпирической функции распределения. Названа в честь Оливера Хевисайда.

Функция Хевисайда является первообразной функцией для дельта-функции Дирака, θ' = δ, это также можно записать как:

39. 40. Переходной функцией системы автоматического управления, ее звена, называют функцию, описывающую изменение выходной величины системы (ее звена), когда на ее вход подается единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях.

Если в качестве математической модели системы автоматического управления используется передаточная функция, то имеем:

Перехідна́ фу́нкція — у системах автоматичного регулювання — зміна вихідної величини у часі при подачі на вхід одиничного ступінчастого впливу (перехід системи регулювання від одного сталого режиму до іншого). Рис. 1.

Розрізняють також імпульсну перехідну функцію (функція ваги) — зміну вихідної величини у часі при подачі на вхід одиничного імпульсного впливу.

Перехідна характеристика — графічне зображення перехідної функції.

Крива розгону — перехідна характеристика керованого об'єкта.

Визначення параметрів кривої розгону

Основними параметрами кривої розгону статичних об'єктів регулювання першого порядку є:

постійна часу, Т,

транспортне запізнювання, τ,

Їх визначення графічним методом показано на рис. 2.

42. Імпульсна перехідна функція (вагова функція, імпульсна характеристика) — вихідний сигнал динамічної системи як реакція на вхідний сигнал у вигляді дельта-функції Дірака. У цифрових системах вхідний сигнал являє собою простий імпульс мінімальної ширини (рівного періоду дискретизації для дискретних систем) та максимальної амплітуди. У застосуванні до фільтрації сигналу називається також ядром фільтра. Знаходить широке застосування в теорії управління, обробці сигналів та зображень, теорії зв'язку та інших областях інженерної справи.

Імпульсною характеристикою системи називається її реакція на одиничний імпульс при нульових початкових умовах.

Вихідний сигнал системи може бути отриманий як скрутка його вихідного сигналу та імпульсної характеристики системи.

або, у випадку цифрової системи

Для реалізуємості системи її імпульсна перехідна функція повинна задовільняти умові: h(t)=0 при t<0. У противному випадку системи нереалізуєма: сигнал-відгук з'являється раніше вхідного сигналу.

Важливою властивістю імпульсної характеристики є той факт, що на її основі може бути отримана комплексна частотна характеристика, що визначається як відношення комплексного спектру сигналу на виході системи до комплексного спектру вхідного сигналу. Частотна характеристика фільтра визначається як перетворення Фур'є ( дискретне перетворення Фур'є у випадку цифрового сигналу) від імпульсної характеристики.

35. Импульсное воздействие – одиночный импульс прямоугольной формы (рис. 2.2, б), имеющий достаточно большую высоту и малую длительность (по сравнению с инерционностью испытываемой системы) с площадью а0.

При математическом анализе АСУ используют единичное импульсное воздействие, описываемое так называемой дельта-функцией

0 при t< 0;

d (t) = ¥ при t> 0, причём

Последние два выражения позволяют рассматривать дельта-функцию, как импульс, имеющий бесконечно большую высоту, бесконечно малую длительность и единичную площадь. Дельта-функцию можно определить также как производную единичного ступенчатого воздействия:

Неединичное импульсное ступенчатое воздействие с площадью а0 обозначается

x(t) = а0 d (t).

. Імпульсно перехідною характеристикою називається графік зміни в часі вихідної величини ланки або системи, коли на вхід подається одиничний імпульс.

Одиничний імпульс – це імпульс, площа якого дорівнює одиниці при тривалості, що дорівнює нулю і висоті, рівній нескінченості. Одиничний імпульс – це математична ідеалізація гранично короткого імпульсного сигналу.

Аналітичним виразом для імпульсної перехідної характеристики є імпульсна перехідна функція або вагова функція (функція ваги), яка позначається ω(t). Вираз для одиничного імпульсу називається одиничною імпульсною функцією або дельта-функцією і позначається δ(t). Таким чином ω(t) – це y(t) при x(t)= δ(t). Дельта-функція просто зв’язана з одиничною сходинковою дією: дельта-функція є похідною від одинчиної сходинкової дії.

33. . Ступенчатое воздействие – воздействие, которое мгновенно возрастает от нуля до некоторого значения и далее остается постоянным (рис. 2.2, а).