Лекция 15. Двойные интегралы. Свойства двойных интегралов. Способы вычисления двойных интегралов. Двойной интеграл в прямоугольных декартовых и полярных координатах.

  1. Объем цилиндрического тела. Двойной интеграл.

Рассмотрим задачу об определении объема цилиндрического тела

Определение

Цилиндрическим телом называется тело, ограниченное замкнутой областью D плоскости ОХУ, поверхностью z=f(x,y), где функция f(x,y) непрерывна и неотрицательна в области D и цилиндрической поверхностью с образующей параллельной оси OZ и направляющей – границей области D.

Область D –основание цилиндрического тела. Граница области состоит из одной или нескольких замкнутых кусочно-гладких линий. В частных случаях боковая цилиндрическая поверхность может отсутствовать. Например, тело, ограниченное плоскостью ОХУ и верхней полусферой .

Объем тела можно представить как сумму или разность объемов цилиндрических тел. Принципы, лежащие в основе определения объема тела следующие:

  1. Если разбить тело на части, то его объем будет равен сумме объемов всех частей;
  2. Объем прямого цилиндра, то есть цилиндрического тела, ограниченного плоскостью параллельной плоскости ОХУ, равен площади основания умноженной на высоту тела.

Обозначения:

V - искомый объем цилиндрического тела;

- частичные области, получаемые при разбиении области D на n замкнутых областей произвольной формы;

- площади частичных областей

Через границу каждой области проведем цилиндрическую поверхность с образующей параллельной OZ. Эти цилиндрические поверхности разрежут поверхность z=f(x,y) на n кусков, соответствующих n частичным областям. Цилиндрическое тело разбивается на n частичных цилиндрических тел. Выберем в каждой частичной области произвольную точку и заменим соответствующее частичное цилиндрическое тело прямым цилиндром с тем же основанием и высотой равной . В результате получим n - ступенчатое тело, объем которого равен

Принимая V данного цилиндрического тела, приближенно равным объему построенного n – ступенчатого тела, будем считать, что точнее выражает V , чем больше n меньше каждая из частичных областей. Переходя к пределу при , будем требовать, чтобы не только площадь каждой частичной области стремилась к 0, но чтобы стремились к 0 все ее размеры. Если назвать диаметром замкнутой ограниченной области наибольшее расстояние между точками ее границы, то высказанное требование означает, что диаметры частичных областей стремятся к 0, а области стягиваются в точку. Таким образом

(при стремлении к 0 наибольшего размера частичных областей при ).

К отысканию подобных сумм для функции двух переменных приводят и другие задачи.

Рассмотрим вопрос в общем случае

Пусть

f(x,y) – функция, ограниченная в некоторой замкнутой ограниченной области D.

- частичная область области D.

- площадь частичной области .

значение функции в точке .

Составим сумму (*)

Сумма (*) называется интегральной суммой для функции f(x,y) в области D, соответствующей данному разбиению области D на n – частичных областей.

Определение

Двойным интегралом от функции f(x,y) по области D называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремлении к 0 наибольшего диаметра частичных областей

Запись

«Двойной интеграл от функции f(x,y) по области D»

- подынтегральное выражение;

f(x,y) – подынтегральная функция;

- элемент площади;

D – область интегрирования.

Таким образом, объем цилиндрического тела, рассмотренного выше выражается двойным интегралом от функции f(x,y), взятым по области, являющейся основанием цилиндрического тела

Теорема существования двойного интеграла

Если f(x,y) непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то ее интегральная сумма стремится к пределу при стремлении к 0 наибольшего диаметра частичных областей. Этот предел, то есть не зависит от способа разбиения области на частичные области и выбора в них точек .

Свойства двойных интегралов

Замечание

Свойства двойного интеграла почти такие же как соответствующие свойства определенного интеграла.

  1. Двойной интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от слагаемых функций:
  2. Постоянный множитель подынтегральной функции можно выносить за символ двойного интеграла:
  3. Если область D разбита на две области без общих внутренних точек, то:
  4. Если во всех точках области D функция , то:

Следствие

Если подынтегральная функция в области интегрирования не меняет своего знака, то двойной интеграл от функции того же знака, что и функция.

Свойство 3 и следствие свойства 4 позволяют уточнить геометрический смысл двойного интеграла

Если объему цилиндрического тела, расположенному над плоскостью ОХУ приписываем знак «+», а расположенного под плоскостью ОХУ – знак «-», если z=f(x,y) – уравнение ограничивающей поверхности, тогда - алгебраическая сумма объемов тел, соответствующих положительным и отрицательным значениям функции f(x,y).

Если f(x,y)=1, то , где S – площадь области интегрирования.

Двойной интеграл выражает объем прямого цилиндра с высотой равной 1, то есть объем численно равен площади основания.

  1. Значение двойного интеграла заключено между произведениями наименьшего (m) и наибольшего (M) значений подынтегральной функции в области D на площадь области интегрирования: , где S - площадь области D.
  2. Двойной интеграл равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке области интегрирования на площадь области интегрирования, то есть: - среднее значение функции f(x,y) в области D.

Вычисление двойных интегралов

При вычислении элемент удобнее представлять в следующем виде. Область D в плоскости ОХУ разбивается на частичные области посредством двух систем координатных линий: x=const, y=const. Эти прямые соответственно параллельны ОХ и ОУ. Частичные области прямоугольники. Площадь каждой частичной области не примыкающей к границе D , будет равна произведению . Поэтому запишем (*)

При вычислении (*) опираемся на то, что он выражает объем V цилиндрического тела с основанием D, ограниченного поверхностью z=f(x.y).

Для вычисления V имеет место другая формула, а именно (**), где

S(x) – площадь поперечного сечения тела плоскостью перпендикулярной ОХ, а x=a, x=b уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело. Соответствующий рисунок

b
a

Применим эту формулу к вычислению двойного интеграла

Предположим, что область интегрирования D удовлетворяет следующему условию: любая прямая параллельная оси ОХ или оси ОУ пересекает границу области не более чем в двух точках. Соответствующее цилиндрическое тело изображено на рисунке

P
C
b

x
b
a

Область D заключена внутри прямоугольника . A,B,C,E – точки касания. Интервал [a,b] – ортогональная проекция области D на ось ОХ. Интервал [c,d] - ортогональная проекция области D на ось ОУ. Точками А и С граница разбивается на две линии:

Аналогично точками В и Е граница разбивается на две линии:

Рассечем рассматриваемое цилиндрическое тело произвольной плоскостью параллельной плоскости OYZ, то есть x=const, где . В сечении получим криволинейную трапецию PMNR, площадь которой выражается интегралом от функции f(x,y), рассматриваемой как функция от одной переменной y, причем y изменяется от ординаты точки P до ординаты точки R; x=const в области D (P – точка входа, R - точка выхода). Из уравнений линий ABC и AEC следует, что ординаты этих точек при взятом x соответственно равны . Следовательно, интеграл дает выражение для площади плоского сечения PMNR. Ясно, что величина этого интеграла зависит от выбранного значения х, то есть площадь рассматриваемого поперечного сечения является некоторой функцией от х. Обозначим . Согласно формулы (**) объем всего тела будет равен интегралу от S(x) в интервале изменения х . Тогда после замены S(x) выражением, получим . Более удобна форма (***)

Меняя роли х и y, то есть, рассматривая сечение тела плоскостью y=const , находим площадь Q(y) такого сечения , где y считается величиной постоянной. Интегрируя затем Q(y) в пределах интегрирования получаем второе выражение для двойного интеграла, то есть (****).

Формулы (***) и (****) показывают, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух обыкновенных определенных интегралов. Нужно помнить, что во внутреннем интеграле одна из переменных принимается при интегрировании за постоянную величину.

Правые части формул (***) и (****) называются повторными (или двухкратными) интегралами – сам процесс расстановки пределов интегрирования – приведением двойного интеграла к повторному.

Если область D – прямоугольник со сторонами параллельными осям координат, то есть имеет вид, представленный на рисунке, то пределы интегрирования – постоянные величины

В других случаях для сведения двойного интеграла к повторному необходимо прежде всего построить область интегрирования, удобнее изображать ее прямо в области ОХУ. Затем нужно установить порядок интегрирования, то есть определить по какой переменной будет производиться внутреннее интегрирование, а по какой внешнее, и расставить пределы. В следующих примерах показано, как производится расстановка пределов интегрирования.

1. Привести к повторному двойной интеграл , если область D – треугольник, ограниченный прямыми y=o, y=x, x=a.

Если интегрировать сначала по y, а потом по х, то внутреннее интегрирование производится от линии y=0 до линии y=x, а внешнее от точки x=0 до точки x=a. Тогда

  1. Привести к повторному двойной интеграл , если область D, ограниченна линиями

Как видно из рисунка удобнее интегрировать вначале по х, затем по у

Если изменить порядок интегрирования, то необходимо поступить следующим образом. Линия ОВА представлена двумя уравнениями. Разбиваем область D на две области: OBC и CBA. Получаем

Формулы (***) и (****) можно использовать и в случае областей более общего вида. Так (***) и (****) применимы к областям следующего вида

Области боле сложной формы обычно можно разбить на конечное число более простых областей и вычислить двойные интегралы по этим простым областям, используя формулы (***) и (****). Например, таким образом, будет вычислен двойной интеграл по данной области.