XREFF.RU


етодические указания к выполнению задания 2.



Если Вам понравился сайт нажмите на кнопку выше

Методы расчета цепей постоянного (переменного) тока

Под расчетом цепи, в общем случае, понимают нахождение токов во всех ветвях схемы.

Основные методы расчета:

1. Метод токов ветвей.

2.Метод контурных токов.

3. Метод узловых напряжений.

4. Метод наложения.

5. Метод эквивалентных преобразований

Метод токов ветвей

• В общем случае токи сложной электрической цепи могут быть определены в результате совместного решения уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа. Для однозначного нахождения всех токов необходимо составить в уравнений, где в- число ветвей схемы (без источников тока).

• Последовательность расчета следующая:

1. Проводят топологический анализ схемы.

1.1. обозначают токи во всех ветвях (I1, I2, …,Iв), произвольно выбирают их положительное направление и обозначают на схеме стрелками;

1.2. подсчитывают общее число узлов у и определяют число независимых узлов Nу=у-1 и показывают их на схеме;

1.3. подсчитывают число независимых контуров Nk = в-у+1, и показывают их на схеме дугой.

2. По первому закону Кирхгофа для независимых узлов и по второму закону Кирхгофа для независимых контуров относительно токов ветвей записывают уравнения. После приведения подобных членов они сводятся к системе линейных алгебраических уравнений (ЛАУ)


где xi =Ii– искомые токи ветвей; aji – постоянные коэффициенты, зависящие от параметров пассивных элементов схемы; вi – постоянные величины, зависящие от параметров активных элементов схемы.

3. Решая систему из в уравнений относительно токов, по методу Крамера находят токи во всех ветвях схемы:


где D – главный определитель системы; Di – определитель, получается из главного D путем замены i-го столбца на столбец свободных членов вi.

Если значения некоторых токов отрицательные, то действительные направления их будут противоположны первоначально выбранным направлениям. I1

Пример 1. Для электрической цепи рис. 1.1 n = 2, m = 3, и расчет токов цепи осуществляется путем решения следующей системы уравнений

2.5.1. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа

Пример . Методом непосредственного применения законов Кирхгофа рассчитать токи в схеме на рис.

Число ветвей обозначим m, а число узлов n. Произвольно выбираем положительные направления токов в ветвях и направления обхода контуров. Поскольку в каждой ветви протекает свой ток, то число токов, которое следует определить, а следовательно, и число уравнений, которое нужно составить, равно m. По первому закону Кирхгофа составляем n-1 уравнений. Недостающие m-(n-1) уравнений следует составить по второму закону Кирхгофа для взаимно независимых контуров.


Рис. 2.20. Схема замещения сложной электрической
цепи с несколькими источниками энергии:
I, II, III – номера контуров

1. Проводим топологический анализ.

Она содержит пять ветвей и три узла, m = 5, n = 3. Составляем два уравнения по первому закону Кирхгофу, т. к. n – 1 = 2 (например, для узлов а и б).

2. Составляем уравнения по певому и второму законам Кирхгофа

Для узла "а" - I1 - I2 + I4 = 0.

Для узла "б" - I1 + I2 - I3 - I5 = 0.

Остальные m - (n - 1) = 3 уравнения составляем по второму закону Кирхгофа.

Для контура I - R1·I1 - R2·I2 = - E1 + E2.

Для контура II - R2·I2 + R3·I3 + R4·I4 = - E2 - E3.

Для контура III - - R3·I3 + R5·I5 = E3.

Решив систему, состоящую из пяти уравнений, находим пять неизвестных токов. Если какие-либо значения токов оказались отрицательными, то это означает, что действительные направления этих токов противоположны первоначально выбранным.

При расчётах сложных цепей с использованием ЭВМ удобна матричная форма записи. Уравнения, составленные по законам Кирхгофа, запишем в виде

- I1 - I2 + 0 + I4 + 0 = 0

I1 + I2 - I3 + 0 - I5 = 0

R1·I1 - R2·I2 + 0 + 0 + 0 = - E1 + E2

0 + R2·I2 + R3·I3 + R4·I4 + 0 = - E2 - E3

0 + 0 + - R3·I3 + 0 + R5·I5 = E3.

В матричной форме

или [R]·[I] = [Е],

где [R] – квадратная (5 х 5) матрица, элементами которой являются коэффициенты при неизвестных токах в исходных уравнениях;

[I] – матрица - столбец неизвестных токов;

[E] – матрица - столбец, элементами которой могут быть алгебраическая сумма ЭДС.

Решение матричного уравнения ищут в виде

[I] = [R]-1·[E],

где [R]-1 – матрица, обратная матрице [R].

Рассмотренный метод расчета неудобен, если в цепи имеется большое количество узлов и контуров, поскольку потребуется решать громоздкую систему уравнений. В таких случаях рекомендуется применять метод контурных токов, позволяющий значительно сократить число расчетных уравнений 2.

Метод контурных токов

Метод основан на 2-м законе Кирхгофа. При его использовании в составе анализируемой схемы выбирают независимые контуры и предполагают, что в каждом из контуров течет свой контурный ток. Для каждого из независимых контуров составляют уравнение по 2-му закону Кирхгофа и их решают. Токи в ветвях находят как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих по данной ветви.

Все источники сигналов, представленные источниками тока, заменяют источниками ЭДС (рис. 4.29).

Рис. 4.29
E
I
ZiI
ZiII
Эта схема эквивалентна, если

а) E = IZiI;

б) ZiII = ZiI.

1) Топологический анализ схемы.

а) Как и в предыдущем методе, определяют число ветвей b.

б) Определяют число узлов у.

в) Подсчитывают число независимых контуров Nk = b – y + 1.

Все независимые контуры обозначены дугами со стрелками на них, которые показывают положительное направление обхода.

Все контуры нумеруют и каждому контуру присваивают свой контурный ток: Ik1; Ik2; IkNk.

За положительное направление контурного тока принимают положительное направление обхода контура.

2) По второму закону Кирхгофа относительно контурных токов записывают уравнения, которые после приведения подобных членов образуют систему линейных уравнений Nk = Nk порядка:

где Iki – контурный ток i-го контура;

Zii – собственное сопротивление i-го контура и равно алгебраической сумме сопротивлений, входящих в i-й контур;

Zji – сопротивление смежных ветвей между i-м и j-м контурами. Оно представляет собой алгебраическую сумму, причем ее члены берутся со знаком «+», если контурные токи направлены одинаково, и со знаком «–», если они направлены встречно;

Eki – контурная ЭДС i-ого контура. Она равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в i-й контур. Контурная ЭДС Eki берется со знаком «+», когда направление источника ЭДС и направление тока совпадают, и со знаком «–», если они направлены встречно.

3) По правилу Крамера находят контурные токи Iki= .

4) Токи в ветвях находят как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих через данную ветвь. В алгебраической сумме контурные токи берутся со знаком «+» , если ток ветви и совпадает с контурным током и «–» если не совпадает.

Если токи ветви оказались положительными, то выбранное направление тока совпадает с истинным и наоборот.

Пример. Дана комплексная схема замещения электрической цепи (рис. 4.30). Определить токи во всех ветвях.

1. Проводим топологический анализ

а) b = 6; б) y = 4; в) Nk = 6 – 4 + 1=3.

2) Составим систему уравнений по методу МКТ

Рис. 4.30
I
Z1
II
III
I1
E1
I5
I2
I3
I4
Z3
Z6
Z5
Z4
Z2
Ik2
Ik3
Ik1
где:

E11= E1; E22 = 0; E33 = 0.

3) По методу Крамера находим контурные токи Iki = .

4) Находим токи в ветвях: I1 = Ik1; I2 =
= Ik1 – Ik2; I3 = Ik1 – Ik3; I4 = –Ik2 + Ik3; I5 = Ik2; I6 = Ik3.

Пример 2. Рассмотрим электрической цепи постоянного тока, рис. 2.21.

1. Проводим топологический анализ

а) b = 5; б) y = 3; в) Nk = 5 – 3 + 1=3.

2) Для каждого контура записывают уравнение второго закона Кирхгофа,


Рис. 2.21. – Расчетная схема для метода контурных токов

В каждом из трех контуров протекает свой контурный ток J1, J2, J3. Произвольно выбираем направление этих токов, например, по часовой стрелке. Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа для каждого контура с учетом соседних контурных токов, протекающих по смежным ветвям

(R1 + R2)·J1 - R2·J2 = E2 - E1

- R2·J1 + (R2 + R3 + R4)·J2 - R3·J3 = - E2 - E3

- R3·J2 + (R3 + R5)·J3 = E3.

Решив систему уравнений, находят контурные токи J1, J2, J3. Затем определяют реальные токи в ветвях, причем токи во внешних ветвях равны контурным, а в смежных – алгебраической сумме 2-х контурных токов, протекающих в данной ветви

I1 = J1; I2 = J2 - J1; I3 = J2 - J3; I4 = J2; I5 = J3.

Исходная система уравнений в матричной форме

или

[R]·[J] = [E],

где [R] – квадратная матрица коэффициентов контурных токов;

[J] – матрица – столбец контурных токов; [E] – матрица – столбец ЭДС.

Решением матричного уравнения является матрица

[J] = [R]-1 ·[E],

где [R]-1 – матрица, обратная матрице [R]

• Пример 3. Для электрической цепи, схема которой приведена на рис. 1.1, получим следующие уравнения:

получим следующие уравнения:


По методу Крамера найдем контурные токи:

Действительные токи в ветвях: I1 = Ik1; I2 = Ik2 – Ik1; I3 = Ik2.

Пример 4. Расчет цепи методом контурных токов на рис. 2.22.


Рис. 2.22. – Расчет цепи методом контурных токов

Для схемы замещения электрической цепи, показанной на рис. 2.22, задано: E1 = 30 B; E2 = 10 В; R1 = 8 Ом; R2 = 15 Ом; R3 = 36 Ом. Требуется определить токи в ветвях методом контурных токов. Составить баланс мощности.

Схема содержит три ветви (m = 3), два узла (n = 2). Выбираем положительные направления токов в ветвях произвольно. Число уравнений, составленных по методу контурных токов, равно m - (n - 1) = 2. Задаем направление контурных токов (например, по часовой стрелке) и составляем систему уравнений

(R1 + R2)·J1 - R2·J2 = E1 - E2

- R2·J1 + (R2 + R3)·J2 = E2.

Подставляя численные значения сопротивлений резисторов и ЭДС в приведённые уравнения, находим контурные токи J1, J2 (Например, методом определителей)

20 = 23·J1 – 15·J2

10 = - 15·J1 + 51·J2

Токи в ветвях

I1 = J1 = 1,23 А; I2 = - J2 + J1 = 1,23 - 0,56 = 0,67 А; I3 = J2 = 0,56 А.

Составляем баланс мощностей.

Мощность генераторов (источников)

РИ = Е1·I1 - Е2·I2 = 30·1,23 – 10·0,67 = 30,2 Вт,

где произведение Е2·I2 имеет знак минус (ток через источник не совпадает с ЭДС, значит источник ЭДС работает в режиме потребителя электрической энергии).

Мощность, потребляемая нагрузкой, составляет

РН = R1·I12 + R2·I22 + R3·I32 = 8·1,232 + 15·0,562 + 36·0,562 = 30,13 Вт.

Погрешность

составляет менее 1%, т. е. токи найдены верно.

Метод узловых потенциалов (МУП)

Метод основан на применении первого закона Кирхгофа. В нем за неизвестные величины принимают потенциалы узлов. По закону Ома определяют токи во всех ветвях схемы.

Все источники ЭДС, имеющиеся в схеме, заменяют источниками тока (рис. 4.31).

а) I = E/ZiI;

Рис. 4.31
E
I
ZiI
ZiII

б) ZiII = ZiI.

1) Топологический анализ.

а) Подсчитывают число ветвей b и число узлов y. Определяется количество независимых узлов Ny = y – 1.

б) Нумеруют все узлы. Один из узлов, к которому сходится наибольшее число ветвей, считают нулевым, где – потенциал нулевого узла.

2) По 1-му закону Кирхгофа составляют уравнения для N узлов схемы и решают их относительно потенциалов узлов:

,

где Yii – собственная узловая проводимость. Она равна сумме проводимостей всех ветвей, сходящихся в i-м узле, все они берутся со знаком «+»;

Yij – межузловая проводимость между i-м и j-м узлами. Проводимости всех узлов берутся со знаком «–»;

Iii – алгебраическая сумма токов источников тока, сходящихся в i-м узле. Втекающие токи записываются в эту сумму со знаком «+», а вытекающие – со знаком «–».

3) Потенциалы узлов находят по формуле Крамера

.

4) Токи в ветвях находят по закону Ома

I = (j1 – j2)/Z.

Пример. Дана электрическая цепь (рис. 4.32). Рассчитать токи во всех ветвях.

Z2
I2
Предварительно преобразуем все источники напряжения (рис. 4.32) в источники тока (рис. 4.33).

Z4
Z3
Z1
I1
I3
I
I
I4
s cy8ucmVsc1BLAQItABQABgAIAAAAIQDZiMiZDQMAAIYGAAAOAAAAAAAAAAAAAAAAAC4CAABkcnMv ZTJvRG9jLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQBMM0wR4AAAAAoBAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAGcFAABk cnMvZG93bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQABADzAAAAdAYAAAAA " filled="f" stroked="f">
I2
l bHMvLnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEAKFUVcA8DAACGBgAADgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJz L2Uyb0RvYy54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAO2UGRd8AAAAKAQAADwAAAAAAAAAAAAAAAABpBQAA ZHJzL2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA8wAAAHUGAAAAAA== " filled="f" stroked="f">
I1
E2
E1
Z4
Z3
Z2
Z1

Рис. 4.32 Рис. 4.33

Проведем топологический анализ.

а) число ветвей b = 4;

б) число независимых узлов Nу = 2, их потенциалы: φ1 и φ2 (рис. 4.33).

Составим систему уравнений по методу узловых потенциалов:

;

.

По методу Крамера найдем потенциалы узлов .

По закону Ома найдем токи во всех ветвях схемы:

.


МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЙ по теме цепи переменного тока

  • Карта сайта